多元函数偏导数有众多的表示符号，如：
这么多符号有时候是等价的，有时候又是不同的，如果没有深刻理解，着实会把人弄糊涂，甚至发生错误。
例如有下面一道题。
例1：设函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点(u,v)的某一领域内连续且有连续偏导数，且雅可比行列式：
求函数组确定的反函数组u=u(x,y),v=v(x,y)关于变量x，y的偏导数。
我们不做本题完整证明，只是说明其中的困惑之处。
本题第一步是要证明函数组存在反函数组。书上给出的过程为：
令：F(x,y,u,v)=x-x(u,v)≡0，G(x,y,u,v)=y-y(u,v)。
则由已知可得：
到这里我就开始迷糊了，怎么证明上式呢？因为根据已知条件F(x,y,u,v)=x-x(u,v)，对两边同时对u求偏导为例：应该有：
或是：
对F(x,y,u,v)其它变量求偏导，可得类似结果。上面求偏导结果让人无法理解。所以我们一定要深刻理解偏导数表示符号的含义，在计算过程中正确使用，最终才能得到条理清晰的正确解。
我们以z=f(x,y)为例讲解偏导符号的含义，此式表示一个二元函数，z表示一个因变量，x,y表示两个自变量，它们都属于变量；f表示函数对应的一个法则。则
表示函数对自变量x偏导数的表达式。
可以理解为函数对第1个位置变量和第2个位置变量的偏导数，即z=f(□,○),此时□等于x,○等于y。至此我们是比较容易理解的。
但是如果函数只要稍微复杂一点，如z=f(x+y,xy),这里函数仍可表示为z=f(□,○),但此时□等于x+y,○等于xy。以对x求偏导为例，根据多元函数求偏导的链式法则：
如果我们写成下式就发生错误了。
因为此时:
因为□和○只是代表第1个位置和第2个位置的一个中间变量。
所以在复杂的多元函数需要正确表达才能得到正确解。首先表示变量和法则符号最好有所区别，例如将函数表示为z=f(x,y)，而不要表示为z=z(x,y)，即使是表示成相同的字母，我们也要理解它们之间是有区别的。一般情况下，变量求偏导用∂/∂表示。而法则求偏导用对位置求偏导的f1'表示。
用上面的思路重新解开始的例1，就会清晰很多。
我们把x=x(u,v)想象为x=f(u,v)，则：F(x,y,u,v)=x-f(u,v)，G(x,y,u,v)=y-g(u,v)，如果我们把F、G看成法则，两边同时对u求偏导可得：
也可以利用隐含式求导公式：
用相同的方法可以得出：
即证明了：
同理，如果把F看作变量，两边同时对u求偏导可得：
用相同的方法可以得出：
同样得以证明：
不知道现在大家对多元函数偏导数是否有了更深的认识，希望本文对你有所帮助。